АЛГЕБРА

АЛГЕБРА (араб. — ал-Жабр) — математиканинг бир соҳаси. Буюк ўзбек олими Абу Абдулло Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий «Ал-жабр вал-муқобала» асарида дунёда биринчи марта Алгебрани изчил баён қилди. Асар лотин тилига таржима қилиниб, algebra номи билан жаҳонга тарқалган. Алгебра тиклашни, яъни манфийҳадларни тенгламанинг иккинчи томонига ўтказишни, вал-муқобала эса тенгламанинг иккала томонидан тенг ҳадларни ташлаб юборишни билдиради. Алгебранинг асосий масаласи — тўпламларда киритилган математик амалларни ўрганиш. Шундай математик амаллар борки, улар бутунлай арифметик амалларга ўхшамайди (мас, ўрин алмаштириш ёки ассоциативлик қонунига бўйсунмайдиган амаллар мавжуд). Арифметикада тайин сонлар устида биринчи тўрт амал ўрганилади. Алгебрада эса бу амалларнинг ҳар қандай сон ва сон бўлмаган бошқа математик объектлар учун ўринли умумий хоссалари текширилади. Бунда ҳосил қилинадиган натижаларнинг умумий бўлишига эришиш учун миқдорларнинг қийматлари ҳарфлар билан белгиланиб, ҳарфий ифодалар устида бажариладиган амалларнинг қоида ва қонунлари кўрсатилади, ифодалар шаклини ўзгартириш ва тенгламаларни ечиш қоидалари ўрганилади. Умар Хаўём Алгебрани тенгламалар ечиш ҳақидаги фан деб таърифлаган эди. Унинг бу таърифи 18-а. охиригача кучини сақлаб келди. Бундан кейинги даврда Алгебра янги йўналишлар билан кенгайтирилди, аммо амаллар ҳақидаги умумий фан сифатида ўз аҳамиятини сақлаб ҳам колли. Қад. мисрликлар анча мураккаб ма-салаларни ечганлар (арифметик ва геометрик прогрессияларга доир масалалар). Масалаларнинг таърифи, уларнинг ечилиши оғзаки сўз 6-н фақат сонли мисоллар учун берилар эди. Бу мисоллар шакл жиҳатидан 1-ва 2-даражали теигламаларни ечишда умумий усулларнинг тўпланаётганлигидан дарак беради. Юнонистон геометрияси алоҳида ажралиб турарди. Бу ерда геометрик текширишлар мантиқ томонидан шундай йўлга қўйилган эдики, унда ҳар бир айтилган фикр исботсиз қолдирилмас эди. Геометрик мулоҳазаларнинг кучли таъсири натижасида арифметика ва Алгебра масалалари геом. тили билан баён этиларди. Мас, миқдорни узунлик деб, икки миқдор кўпайтмасини тўғри тўртбурчакнинг юзи деб қараларди. Ҳоз. замон мат. сида миқдорнинг ўз-ўзига кўпайтмасини «квадрат» деб аташ геометрик тилнинг ҳозиргача сақланиб келишидан намунадир. Юнонлар эришган натижаларни тўлдириш, умумлаштириш ва тараққий эттиришда Туркистон математиклари катта ҳисса қўшдилар. Илдизларни ҳисоблаш, бир қатор тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари, Ньютон биноми умумий формуласининг сўз билан таърифланган ифодасини бериш Туркистон математик олимлари томонидан муваффақиятли ҳал қилинган. 9 — 10-а. ларда Туркистон йирик илмий марказга айланади. Бу даврда ал-Хоразмий, Абу Райҳон Берунийлар яшаган ва фан соҳасида ўзларининг йирик илмий ишлари билан дунёга ном таратган эдилар. 1074 й. да Умар Хайёмнинг «ал-Жабр» деган бошқа бир китобида чизиқли ва квадрат тенгламаларни ечиш, учинчи даражали тенгламалар илдизларини геометрик усул билан излаш ва б. жуда кўп масалаларни ечиш йўллари кўрсатилган. Ибн Сино асарларида ҳам ўша замон учун алоҳида аҳамиятга эга бўлган арифметика ва Алгебра масалаларининг ечимлари берилган. Унинг мат. га, хусусан, Алгебра ва арифметикага оид ишларида сонларни квадрат ва кубга кўтариш амаллари текширилган. Қад. дунё тарихидан то ал-Хоразмий даврига қадар математика А. ва арифметика каби билимларга ажралган эмас эди. Фақат ал-Хоразмий давридан бошлаб Алгебра математиканинг алоҳида бўлими бўлиб ажралди. 15-а. да Самарқандда машҳур Улуғбек расадхонасининг ташки л топиши астрономиянинг тараққий этиши билан бир қаторда мат. нинг ривожланишига ҳам сабаб бўлди. Алгебранинг тараққиёти учун амалларни сўз билан ифода этишдан кўра улар ўрнига қулай белгилар топиб ишлатиш зарур эди. Бу иш жуда секинлик билан борди: қад. мисрликлар каср учун алоҳида белги ишлатишган. Диофант i ҳарфини тенглик белгиси учун (юн. isos — тенг) ишлатган. Итальян олимлари плюс ва минус сўзлари ўрнида устига алоҳида чизиқ чизилган ва т ҳарфларини ишлатишган. 15-а. охирига келгандагина ҳоз. = ва — ишоралари киритилган. Бундан кейинги даврда масалада қатнашадиган миқдорлар, шунингдек номаълумлар ҳарфлар билан белгиланадиган бўлди. 16-а. ўрталарида ҳоз. замон алгебрасидаги тимсоллар тўла такомиллаштирилди. Алгебрада бундай тўла тимсолларга ўтишга қадар бирор умумий қоида ёки исботни тушунтириш, бирор умумий фикрни таърифлаш мумкин эмас эди. 16-а. да номаълум миқдорлар учун унли А, Е, ҳарфлари, маълум миқдорлар учун эса унсиз В, С, Д, ҳарфлари ишлатилиб, ўша вақтда киритилган математик амаллар билан боғланди. Шундай қилиб, ҳоз. замон Алгебраси учун хос бўлган ҳарфий формулалар биринчи мартаба пайдо бўлди. Ҳар қандай тайин сон ўрнига тимсолий белгиларнинг киритилиши, ҳарфлардан арифметика амалларини ечишда фойдаланилиши жуда катта аҳамиятга эга эди. Бу билан формулалар тили бўлган математик восита ҳосил қилинди. Шу воситасиз 17-а. да олий мат. нинг ёрқин тараққиёти, чексиз кичик миқдорлар таҳлили, физика, механика ва техника фанларидаги қонунларнинг математик ифодаларини бериш масалаларини хаёлга келтириш ҳам мумкин эмас эди. 17-а. да Декартнинг аналитик геометрия тузишда тутган йўли Алгебрада пайдо бўлаётган ман-фий сон тушунчасини геометрик тасвирлаш билан бирга, манфий сонларнинг фандаги ўрнини мустаҳкамлади. Номаълум сонлар учун x,y,z ҳарфларини ишлатиш Декартдан бошланган бўлиб, ҳозир ҳам шундай қилинади. Аналитик геометриянинг майдонга келиши Алгебранинг катта ютуғи бўлди. Агар юнонлар Алгебра масалаларини геом. тилида таҳлил қилган бўлсалар, энди, аксинча, геом. масалалари Алгебра формулаларига кўчириладиган бўлиб колди. 17-а. охири — 18-а. бошларида ишлаб чиқарувчи кучларнинг тараққиёти, техника ва табиий фанларнинг мат. олдига қўйган талаблари муносабати билан дифференциал ва интеграл ҳисоб вужудга келди ва тараққий эта бошлади. Бунга Алгебранинг босиб ўтган тарихий тараққиёти ҳам замин тайёрлаб берган эди. Бу даврда Алгебра билан математик таҳлил бир-бири билан жипс муносабатда тараққий қиларди. Алгебрага функционал боғланиш масалалари кира бошлади. Таҳлил эса Алгебранинг бой формулалари тўпламидан фойдалана борди. 18—19-а. ларда Алгебра тахлилдан фарк қилиб, дискрет ва чекли миқдорлар билан иш кўрарди: бу даврда Алгебра асосан кўпҳадлар билан шуғулланарди. 2-даражали тенгламаларни ечиш муносабати билан Алгебрада иррационал ва комплекс сонларнинг фанга киритилиши учун эҳтиёж туғилади. Бу сонларнинг киритилиши билан 18-а. да Алгебра ҳоз. замон ўрта мактабида ўтилаётган Алгебра ҳажмига яқин келган эди. Ҳарфий белгилардан фойдаланиб турли сонлар тизимларининг умумий хоссаларини ҳамда тенгламалар воситаси билан ечишнинг умумий методларини урганадиган Алгебра классик алгебра деб юритилади. Классик Алгебрада кв. тенгламани ечиш қад. дунёдан маълум, аммо учинчи ва тўртинчи даражали тенгламаларни ечиш формулаларини эса фақат 16-а. да итальян математиклари Кардано, Тарталья ва Фер-рари яратиб берди. Бу формулалар тенглама илдизларини унинг коэф-фициентлари орқали рационал амаллар билан радикалларда ифода этади. Да-ражаси 4 дан юқори тенгламалар илдизларини ҳам шу йўсинда ифодалаш масаласи кўп ваqn олимлар диққатини ўзига жал б қилиб келди. Орадан 300 и. ўтгач, 19-а. да Абель ҳамда Галуа даражаси 4 дан юқори алгебраик тенгламалар илдизларини коэффициентлари орқали рационал амаллар билан радикал кўринишида ифода этиш мумкин эмаслигини исбот килдилар (қ. Галуа назарияси). Галуа ҳар бир тенглама билан унинг илдизларини алмаштириш гуруҳини беради ва тенгламани текширишни бу гуруҳни текширишга келтиради. Алгебраик тенгламалар илдизларининг сони ва уларнинг қайси соҳага тегишли бўлиши масалалари ҳам кўп вақтдан бери олимларнинг диққат марказида турган масалалардандир. Д’Аламбер ва Гаусс комплекс коэффициентли ҳар қандай пдаражали тенглама п та комплекс илдизга эга эканлигини исботладилар (қ. Олий алгебранинг асосий теоремаси). 19-а. бошларида мавҳум сонларнинг табиатини ўрганиш туфайли математик амал тушунчаси кенгая бошлади. Инглиз математиклари биринчи бўлиб математик амалнинг мавҳум тушунчасига келдилар ва бу тушунчани янги математик обьектларга татбиқ қилиш билан Алгебра соҳасини кенгайтир-дилар. Бу даврда векторлар, кватернионлар, гаперкомплекс тизимлар, матрицалар алгебраси, ассоциатив бўлмаган алгебралар ва алгебраик геометрия ташкил топди ва ривожланди, янги алгебраик объектлар, чунончи халқа, майдонлар пайдо будди. Булар 19-а. 1-ярмидаги Алгебрани жонлантирди. Ўша вақтгача Алгебра методлари ва натижалари Алгебранинг марказий муаммоси ҳисобланган алгебраик тенгламаларни ечишдан иборат эди. 1850 й. дан кейин эса аҳвол ўзгарди, янги изланишлар борган сари ҳоз. кунда алгеб-ранинг асосий муаммоси ҳисобланган мат. амалларни ўрганишдан иборат бўла борди. 19-а. 2-ярмида алгебраик сонлар, инвариантлар ва гуруҳлар назарияси вужудга келди. 20-а. да алгебра мат. нинг турли соҳаларига, назарий физика, кимё, биол., генетика каби бошқа фанларга ҳам жадал кириб келди, яъни математика ва б. кўпгина соҳаларни алгебралаштириш жараёни рўёбга келди. Айни пайтда Алгебра ва мат. нинг турли соҳалари чегарасида мат. нинг янги йўналишлари, чунончи Алгебра ва функционал анализ ўртасида Банах А. лари:, операторлар Алари назарияси, Алгебра билан топология ўртасида гомологак Алгебра ва ҳ. к. пайдо бўлди. Алгебра фанининг ривожланишига бир қанча ўзбек олимлари, чунончи: Т. Саримсоқов, Ш. Аюпов, Ж. Ҳожиев ва б. ўз ҳиссаларини қўшдилар. Алгебра эҳгимоллар назарияси, топологияга оид топологик ярим майдонлар ва умуман тартибланган Алгебралар назариясини биринчи марта Ўзбекистонда Т. Саримсоқов ўз шогирдлари билан яратди.

Шавкат Аюпов.

Loading...